Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BG∥AC交DA的延长线于点G．

（1）求证：△ADF≌△CBE；

（2）若四边形AGBC是矩形，判断四边形AECF是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，证明见解析．

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，∠D=∠ABC，AB=CD，然后通过E、F分别是边AB、CD的中点，得到DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE即可；
（2）通过平行四边形ABCD可得四边形AECF为平行四边形，然后由矩形的性质得出∠ACB=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=AB=AE，即可证出四边形AECF为菱形．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，∠D=∠ABC，AB=CD，

又∵E、F分别是边AB、CD的中点，

∴DF=BE，

在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE；

（2）四边形AECF为菱形；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，DC=AB，

又∵E、F分别是边AB、CD的中点，

∴CF=AE，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵矩形AGBC，

∴∠ACB=90°，

又∵E为AB中点，

∴CE=AB=AE，

∴四边形AECF为菱形．