Question

【题目】如图，在平面直角坐标系 中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点．

①若 ，求点的坐标；

②如图，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式．当时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①符合条件的点的坐标为或．②h=当时，的取值范围是．

【解析】

（1），由旋转得到，则OC=OB=OF，OE=OA=O，所以点E的坐标为（2，0），点F坐标为（0，6），点C坐标为（-6，0），设的解析式为，利用待定系数法求解即可；

（2）①分点P在x轴上方时或在x轴下方时进行讨论求解即可得；

②过点 作 于点 ，则 ，结合二次函数最值问题进行求解即可得．

（1），由旋转得到，则OC=OB=OF，OE=OA=O，所以点E的坐标为（2，0），点F坐标为（0，6），点C坐标为（-6，0），设的解析式为，

代入点坐标即可得：

∴的解析式为，

故答案为：:；

（2）①若点在轴的上方，且 时，则 与抛物线 的交点即为所求的 点，设直线 的解析式为：．

解得

直线 的解析式为：，

联立

解得 或

．

若点在 轴的下方，且 时，则直线 关于 轴对称的直线 与抛物线 的交点即为所求的 点．

设直线 的解析式为：．

解得

直线 的解析式为：．

联立 解得 或

；

符合条件的点 的坐标为 或 ．

②设直线 的解析式为：，

解得

直线 的解析式为：，

过点 作 于点 ，则 ，

，

h=

=

=

=

=

∴，

，

当 时，的最大值为 ．

，当 时，，

当时，，

当时， 的取值范围是 ，

故答案为：①符合条件的点的坐标为或．

②h=当时，的取值范围是．