Question

【题目】如图，在顶点为P的抛物线 的对称轴l上取 ，过A作 交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作 ，又分别过B,C作 ，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形．

(1)直接写出抛物线 的焦点坐标及其直径；

(2)求抛物线 的焦点坐标及其直径；

(3)已知抛物线的直径为 ，求a的值；

(4)①已知抛物线 的焦点矩形的面积为2，求a的值；

②直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (0，1)，4；(2) (3，3)，4；(3) ；(4)① ；② 或

【解析】

(1)根据题意可以求得抛物线 的焦点坐标及其直径；

(2)根据题意可以求得抛物线 的焦点坐标及其直径；

(3)根据题意和抛物线的直径为 ，列方程即求a的值；

(4)①根据题意和抛物线的焦点矩形的面积为2，列方程即求的值；
②根据(2)中的结果和图形可以求得抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围．

(1)∵抛物线中，，，，

∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：，

∴抛物线的焦点坐标为(0，1)，

将代入得：，

∴此抛物线的直径是：；

(2)∵抛物线中，，，，

∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：，

∴抛物线的焦点坐标为(3，3)，

将代入得：，

∴此抛物线的直径是：；

(3)∵抛物线的焦点为A(，)，

∴，

解得：，

∴此抛物线的直径是：；

解得：，

∴的值是；

(4)设抛物线解析式为：，

①由(3)得，BC，

焦点为A(，)，顶点为P(，)，

∴，

根据题意：，

解得：，

∴的值是；

②当 或时，有两个公共点，

理由：由(2)知抛物线的焦点矩形顶点坐标分别为：
B(1，3)，C(5，3)，E(1，1)，D(5，1)，

当过B(1，3)时，

解得：或(舍去)，

过C(5，3)时，或(舍去)，

由图可知，公共点个数随m的变化关系为：

当时，无公共点；
当时，1个公共点；
当时，2个公共点；
当时，3个公共点；
当时，有2个公共点；

当时，1个公共点；

当时，无公共点；
由上可得，当或时，有2个公共点．