Question

7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠DAC=∠OCA，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，则OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，由于∠DAC=∠OAC，则可判断△ACD∽△ABC，然后利用相似比可计算出CD的长．

解答 （1）证明：连接OC．如图1所示
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴DA∥OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线．
（2）解：连接BC，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=10，∠ACB=90°=∠ADC，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
又∵∠DAC=∠OAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$，
解得：CD=4.8．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，由圆周角定理证出△ACD∽△ABC是解决问题（2）的关键．