Question

【题目】反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y= 的图象于点M，△AOM的面积为3．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y= 的图象上，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△AOM的面积为3，

∴ |k|=3，

而k＞0，

∴k=6，

∴反比例函数解析式为y= ；

（2）

解：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y= 的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，

把x=1代入y= 得y=6，

∴M点坐标为（1，6），

∴AB=AM=6，

∴t=1+6=7；

当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y= 的图象上，

则AB=BC=t﹣1，

∴C点坐标为（t，t﹣1），

∴t（t﹣1）=6，

整理为t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去），

∴t=3，

∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y= 的图象上时，t的值为7或3．

【解析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到 |k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y= ；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y= 的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y= 的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t﹣1，则C点坐标为（t，t﹣1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t﹣1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解比例系数k的几何意义的相关知识，掌握几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．