Question

【题目】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF.其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．

在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，

∵CE=DF，

∴AD-DF=CD-CE，

即AF=DE，

在△ABF和△DAE中，

AB＝AD

∠BAF＝∠D＝90°

AF＝DE

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，故①正确；

∠ABF=∠DAE，

∵∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ABF+∠BAO=90°，

在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

假设AO=OE，

∵AE⊥BF（已证），

∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，

所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；

∵△ABF≌△DAE，

∴S△ABF=S△DAE，

∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，

即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；

综上所述，正确的有3个