Question

【题目】如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为_____．

Answer 1

【答案】30．

【解析】

由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM（AAS），推出AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m﹣x）2，推出x＝m，由EK∥CH，推出＝，推出＝，可得AK＝m，求出AC即可解决问题．

解：如图，由题意点所能到达的区域是，

连接，延长交于，作于，于，作于．

，，，

，，

，

，

设，，

，

或（舍弃），

，

四边形是矩形，

，

设，，，

，，，

在△HAC和△HAM中，

，

，

，，，设，

在中，则有，

，

，

，

，

，

，

，，

的周长，

故答案为30．