Question

【题目】我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.请解答下列问题：

(1)“梯形、长方形、正方形”中“等邻角四边形”是____________；

(2)如图，在中，，点在上，且，点、分别为、的中点，连接并延长交于点.求证：四边形是“等邻角四边形”；

(3)已知：在“等邻角四边形”中，，，，，请画出相应图形，并直接写出的长.

Answer 1

【答案】（1）长方形，正方形；（2）证明见详解；（3）CD的长为11或或2或10+.

【解析】

（1）长方形和正方形至少有一组邻角相等，根据等邻角四边形的定义即可判断；

（2）取AC的中点为H，连接FH,EH,由三角形中位线可得EH∥AB,且EH= AB；FH∥CD,且FH= CD,进而得到AB=CD,EH=FH,根据平行线性质可得∠2=∠4,∠1=∠3，进而得到∠4=∠3, 根据等角的补角相等可得∠AGE=∠GEC,进而得出结论；

（3）分四种情况：①∠D=∠A=90°时,② ∠A=∠B=90°时，③∠B=∠C=60°时，④∠C=∠D=60°时，分别画出四种情况的图形，作出辅助线，根据三角形的条件即可求得.

（1）长方形，正方形；

（2）如图所示，取AC中点为H连接FH,EH,

∵E为BC中点，

∴EH为的中位线，

∴EH∥AB,且EH= AB,

同理，FH∥CD,且FH= CD,

∵AB=AC,CD=AC,

∴AB=CD,EH=FH,

∴∠1=∠2,

∵EH∥AB,FH∥CD,

∴∠2=∠4,∠1=∠3,

∴∠4=∠3,

∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°,

∴∠AGE=∠GEC,

∴四边形AGEC是等邻角四边形；

（3）①当∠D=∠A=90°时,

如图所示，作BE⊥CD于E,

∵∠A=∠D=∠BED=90°,

∴四边形ADEB为矩形，

∴DE=AB=6，

在中，BC=10,∠C=60°,

∴CE=5,

∴CD=DE+CE=11;

②当∠A=∠B=90°时，

如图所示，作CE⊥AD交AD的延长线于E,

∵∠A=∠B=∠E,

∴四边形AECB为矩形，

∴AE=BC=10,CE=AB=6,

在中，∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°,

设DE=x，则CD=2x,由勾股定理得：

解得：

∴CD= ；

③当∠B=∠C=60°时，

如图所示，分别延长AD,BC交于点E，

在中，∠B=60°，AB=6,

∴BE=2AB=12, ∠E=30°,

∴CE=BE-BC=12-10=2,

∵∠BCD=60°,

∴∠CDE=∠CED=30°,

∴CD=CE=2,

④当∠C=∠D=60°时，

如图，分别延长DA,CB交于点E,

∵∠C=∠D=60°,

∴∠E=60°,CD=CE,

在中，∠E=60°,AB=6,

设AE=x，则BE=2x,由勾股定理得：

解得：

∴BE=,

∴CD=BC+BE=10+;

∴综上所述，CD的长为11或或2或10+.