Question

【题目】[问题提出]

在判定两个三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有"" 方法.类似的,我们对直角三角形相似的条件进行探索。

(1) [提出猜想]

除根据一般三角形相似判定的条件外，请你提出类似于""的判定直角三角形相似的方法，并用文字描述为: .

(2) [初步思考]

其中，我们不妨将问题用符号语言表示为:如图1,在和中，,若 ,则， 请给予证明.

(3) [深入研究]

若图2中的,其他条件不变，两个三角形是否相似?试利用以上探究的结论解决问题,若相似请证明,若不相似，请画出反例.

Answer 1

【答案】(1)如果两个直角三角形的一组直角边与斜边对应成比例，则这两个三角形相似；(2)，证明见解析；(3)成立,证明见解析.

【解析】

（1）借助“HL”直接得出结论；

（2）先构造出△A'C'B∽△ACB，进而判断出Rt△A'C'B≌Rt△DFE即可得出结论；

（3）先构造出△AGC∽△DHF，借助（2）的结论即可得出结论．

（1）斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似，

故答案为：斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；

（2）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若，则△ABC∽△DEF．

理由：在BA上取一点A'使BA'=DE，过点A'作AC'∥AC交BC于C'，

∴∠A'C'B=∠C=90°=∠F，△A'C'B∽△ACB，

在Rt△A'C'B和Rt△DFE中，，

∴Rt△A'C'B≌Rt△DFE（HL），

∵△A'C'B∽△ACB，

∴△DFE∽△ACB；

故答案为:；

（3）成立，如图2，

过点A作AG⊥BC交BC的延长线于G，过点D作DH⊥EF交EF的延长线于H，

∴∠G=∠H=90°，

∵∠ACB=∠DFE，

∴∠ACG=∠DFH，

∴△AGC∽△DHF，

∴∠BAC=∠FDH，

用（2）的结论得，△ABG∽△DEH，

∴∠B=∠E，∠BAG=∠EDH，

∴∠BAC=∠EDF，

∵∠B=∠E，

∴△ABC∽△DEF