Question

12．先阅读下列材料：
化简$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$时，甲、乙两同学的解法分别为：
甲：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{3-2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
乙：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{1•（\sqrt{2}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{2}+\sqrt{3}）（\sqrt{2}-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
下面请解答：
（1）两位同学的解法是否正确？
（2）请用上述两种方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$；
（3）计算$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）两位同学的解法均正确；
（2）类比上述方法计算即可；
（3）由以上分母有理化规律，将式子全部有理化后两两抵消可得结果．

解答 解：（1）两位同学的解法均正确；
（2）$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\frac{5-3}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，
$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}-\sqrt{3}）（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}$=$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$；
（3）原式=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}$+…+$\sqrt{2015}-\sqrt{2014}$
=$\sqrt{2015}-1$．

点评 本题主要考查分母有理化，类比以上分母有理化的方法是解题的根本，将以上方法加以运用是解题的关键．