Question

2．半径为2的圆的圆心O在直角坐标系的原点，两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1，$\sqrt{2}$），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差是1．

Answer 1

分析 解答本题要注意当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，此时四边形ABCD的面积最大，求出对角线AC、BD的长度可以求得四边形ABCD的最大面积，当BD为圆的直径时可以求得四边形的最小面积，两者相减，得到答案．

解答 解：∵M（1，$\sqrt{2}$），
∴OM=$\sqrt{3}$，
①如图1，当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，这时O到弦的距离为：OM×sin45=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由勾股定理及垂径定理知弦长为：$\sqrt{10}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
②当弦BD经过圆心O，此时四边形ABCD的面积最小，如图2，
∵M（1，$\sqrt{2}$），
∴OM=$\sqrt{3}$，MC=1，
根据垂径定理，AC=2MC=2，
∴BD=4，
∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5-4=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．