Question

14．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一个等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放．该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图①中请你通过观察，测量BF与CG的长度，猜想BF与CG满足的数量关系是BF=CG．
（2）当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交直线BC于点D，过点D作DE丄BA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度关系，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移（点F在射线AC上，且点F与点A、点C不重合）时，直接写出DE、DF与CG之间满足的数量关系，不用说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，故由AAS证得△ABF≌△ACG⇒BF=CG；
（2）过点D作DH⊥CG于点H．易证得四边形EDHG为矩形，有DE=HG，DH∥BG，∠GBC=∠HDC．又有AB=AC，∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∠F=∠DHC=90°，CD=DC，可由AAS证得△FDC≌△HCD，DF=CH，有GH+CH=DE+DF=CG．
（3）同（2）可证得DE=DF+CG，

解答 解：（1）BF=CG；
证明：在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG；
故答案为BF=CG
（2）DE+DF=CG；
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图1），

∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；
（3）DE=DF+CG，
理由：过点C作CH⊥CG于点H（如图2），

∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，CH⊥CG，
∴四边形CHEG为矩形，
∴EH=CG，∠HCG=90°，
∴∠HCD+∠BCG=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠B+∠BCG=90°，
∴∠B=∠HCD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠DCF，
∴∠DCF=∠HCD
又∵∠CFD=∠DHC=90°，CD=CD，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=DH，
∴EH+DH=CG+DF=DE
即DE=DF+CG，

点评 此题是几何变换综合题，本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求解；作出辅助线是正确解答本题的关键．