Question

4．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（1，4）、B（-4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使∠APB是直角．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$即可求出k．
（2）把A（1，4）、B（-4，-1）两点代入y=kx+b求出k、b即可．
（3）设P（a，0）根据PM=$\frac{1}{2}$AB列出方程即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$经过点A（1，4）、B（-4，n），
∴m=4，n=-1，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{4}{x}$．
（2）∵一次函数y=kx+b经过点A（1，4）、B（-4，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数为y=x+3．
（3）设P（a，0），AB点中点M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵∠APB=90°，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\sqrt{（a+\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$，
整理得到：a²+3a-8=0解得a=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，
∴点P坐标为（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，0）和（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，0）．

点评 本题考查一次函数、反比例函数的有关知识、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是会用待定系数法求函数解析式，用方程的思想去思考问题．