Question

15．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，如果AE=AC=2，求△ECF的面积．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得出BC=AC=AE=2，进而得出AB的长，利用全等三角形的判定和性质解答即可．

解答 解：作CD⊥EF，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴AC=BC=AE=2，∠EAC=∠FBC，AB=$2\sqrt{2}$，
∵∠ECF=135°，
∴∠CEA=∠ECA=22.5°，
∴∠FCB=135°-90°-22.5°=22.5°，
在△EAC与△FBC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECA=∠FCB}\\{AC=BC}\\{∠EAC=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FBC（ASA），
∴AE=BF=2，
∴CD=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
∴△ECF的面积=$\frac{1}{2}×（4+2\sqrt{2}）×\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰直角三角形的性质得出BC=AC=AE=2解答．