Question

3．如图，在△ABC中，AM是中线，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，BE=CF．
（1）求证：AM平分∠BAC；
（2）连接EF，猜想EF与BC的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=6cm，EM=2cm，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AM平分∠BAC只要证明AB=AC即只要证明∠B=∠C，由△MEB≌△MFC即可得证．
（2）结论EF∥BC，只要证明∠AEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可证明．
（3）根据S_△ABC=2S_△ABM=2×$\frac{1}{2}$•AB•EM求解．

解答 （1）证明：∵AM是△ABC中线，
∴BM=MC，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠MEB=∠MFC=90°，
在RT△MEB和RT△MFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=MC}\\{BE=FC}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△MFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，∵AM是中线，
∴AM平分∠BAC．
（2）结论EF∥BC，理由如下：
证明：∵△MEB≌△MFC，
∴ME=MF，
∵AB=AC，BE=CF，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC．
（3）∵AM是中线，
∴S_△ABC=2S_△ABM=2×$\frac{1}{2}$•AB•EM=12．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形证明△ABC是等腰三角形，属于中考常考题型．