Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．

（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CDCE=CBCA；

（2）作CG⊥AB于点G．若tan∠CAB＝（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）①过点C作直径CF，连接BF.即可得又由直径所对的圆周角等于直角，可得又由切线的性质，可得是直角，即可证得 ②由EC∥AB，易证得∠4=∠3=∠BCD.有圆的内接四边形的对角互补，可得∠CBD=∠AEC.即可证得则得到
（2）在与中，利用三角函数的性质，即可求得的值．

详解：（1）证明：①如图1，

作直径CF，连接BF.

∴

则

∵CD切于C，

∴OC⊥CD，

则

∴∠BCD=∠CAB.

②∵EC∥AB，∠BCD=∠3，

∴∠4=∠3=∠BCD.

∵

∵

∴∠CBD=∠AEC.

∴△ACE∽△DCB.

∴

∴CDCE=CBCA.

（2）如图2，连接EB，交OC于点H，

∵CG⊥AB于点G,

∴∠3=∠BCG.

∴AE=BC，

∠3=∠4.

∴∠3=∠EBG.

∴∠BCG=∠EBG.

∵

∴在Rt△HGB中,

在Rt△BCG中,

设HG=a,则

∵EC∥AB，

∴△ECH∽△BGH.

∴