Question

【题目】（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）

（2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC， 求证：点E在线段AB的垂直平分线上．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）先画出图形，写出已知、求证，过Q作MN⊥AB于C，推出∠QCA=∠QCB=90°，根据HL推出Rt△QCA≌Rt△QCB，根据全等三角形的性质得出AC=BC，即可得出答案；（2）根据题意可得∠CBA=60°，由角平分线可得∠ABE=30°，即可证明∠ABE=∠A，可得BE=AE，根据（1）即可证明结论.

(1)已知：如图，QA=QB.

求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．

证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C.则∠QCA=∠QCB=90°

在Rt△QCA和Rt△QCB中，

∵QA=QB ,QC=QC

∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.)

∴AC=BC

∴点Q在线段AB的垂直平分线上．

即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

（2）证明：∵∠C=90°∠A=30°，

∴∠ABC=90°30°=60°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°，

∴∠A=∠ABE，

∴EA=EB，

∴点E在线段AB的垂直平分线上．