【题目】如图,有一根固定长度的木棍在正方形的内部如图1放置,此时木棍的端点恰好与点重合,点在边上,,将木棍沿向下滑动个单位长度至图2的位置.同时另一个端点沿向右滑动个单位长度至,且,.在滑动的过程中,点到木棍中点的最短距离为__________.
【答案】
【解析】
分别根据图1和图2得出MN2=AB2+BN2=(a+3.9)2+2.52,M′N′2=BM′2+BN′2=3.92+(2.5+)2,求出a值,连接BP,BD,求出BD和BP,分析出当B、P、D三点共线时,DP最短,利用DP=BD-BP得到DP的值即可.
解:由图2可知:AB=AM′+BM′=a+3.9,
∵BN=2.5,
∴在图1中,MN2=AB2+BN2=(a+3.9)2+2.52,
∵a:b=7:9,
∴,
在图2中,M′N′2=BM′2+BN′2=3.92+(2.5+)2,
∵MN2=M′N′2,
∴(a+3.9)2+2.52=3.92+(2.5+)2,
解得:a=2.1或a=0(舍),
∴AB=a+3.9=2.1+3.9=6,
∴在图1中,MN=,
连接BP,BD,如图,
∵∠BAD=90°,AD=AB=6,
∴BD==,
∵∠M′BN′=90°,P是M′N′的中点,
∴BP=M′N′=MN=×6.5=,
∵DP≥BD-BP,
∴当B、P、D三点共线时,DP最短,此时DP=BD-BP=-,
∴在滑动的过程中,点D到木棍中点P的最短距离为-.
故答案为:-.
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【题目】某市居民用电的电价实行阶梯收费,收费标准如下表:
一户居民每月用电量x(单位:度) | 电费价格(单位:元/度) |
0<x≤200 | a |
200<x≤400 | b |
x>400 | 0.92 |
(1)已知李叔家四月份用电286度,缴纳电费178.76元;五月份用电316度,缴纳电费198.56元,请你根据以上数据,求出表格中a,b的值.
(2)六月份是用电高峰期,李叔计划六月份电费支出不超过300元,那么李叔家六月份最多可用电多少度?
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【题目】在平面直角坐标系,直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于 D,
(1)直接写直线y=2x+2与坐标轴所围成的图形的面积
(2)以AD为边作正方形ABCD,连接AD,P是线段BD上(不与B,D重合)的一点,在BD上截取PG=,过G作GF垂直BD,交BC于F,连接AP.
问:AP与PF有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由;
(3)在(2)中的正方形中,若∠PAG=45°,试判断线段PD,PG,BG之间有何关系,并说明理由.
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【题目】如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.
已知线段a,c如图.
小芸的作法如下:
① 取AB=c,作AB的垂直平分线交AB于点O; ② 以点O为圆心,OB长为半径画圆;
③ 以点B为圆心,a长为半径画弧,与⊙O交于点C;④ 连接BC,AC.
则Rt△ABC即为所求.老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是________________________.
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【题目】如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近.请在图中的公路AB上分别画出点P,Q的位置(保留画图痕迹).
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论,不必证明).
(3)到在公路AB上是否存在这样一点H,使汽车行驶到该点时,与村庄M,N的距离相等?如果存在,请在图中的AB上画出这一点(保留画图痕迹,不必证明);如果不存在,请简要说明理由.
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【题目】如图,某隧道口的横截面是抛物线形,已知路宽AB为6米,最高点离地面的距离OC为5米.以最高点O为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,1米为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,求:(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)有一辆宽2.8米,高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道?
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【题目】如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.
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