Question

【题目】阅读材料，我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： ．

（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．

求证：，即四边形ABCD是等平方和四边形．

Answer 1

【答案】（1）矩形、正方形、对角线互相垂直的等腰梯形；（2）见解析；

【解析】

(1)据题中定义，只要邻边相等的平行四边形即符合要求，则菱形或正方形都符合要求．

(2)根据AC⊥BD和勾股定理易证得AD2+BC2=AB2+DC2即四边形ABCD是等平方和四边形．

（1）矩形、正方形、对角线互相垂直的等腰梯形.

（2）证明：

∵ACBD,

∴AOD=AOB=BOC=COD=,

在中，由勾股定理得,

OA2+ OD2=AD2 ,

同理可得：

OB2+ OC2=BC2 ,

OA2+ OB2=AB2 ,

OD2+ OC2=CD2 ,

∴ AD2+ BC2 =AB2+ DC2 ,

即四边形ABCD是等平方和四边形.