Question

已知二次函数y=x²-4x-5．
（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．
（2）二次函数y=x²的图象如图所示，将y=x²的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x²-4x-5的图象．
（3）若A（m，y₁），B（m+1，y₂）两点都在该函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

解：（1）令y=0，则x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，
∴此二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（5，0）；

（2）∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴抛物线y=x²-4x-5的顶点坐标为（2，-9），
而抛物线y=x²的顶点坐标为（0，0），
∴将y=x²的图象先向右平移2个单位，然后向下平移9个单位，就可以得到二次函数y=x²-4x-5的图象；

（3）因为A（m，y₁），B（m+1，y₂）两点都在函数y=x²-4x+5的图象上，
所以，y₁=m²-4m-5，y₂=（m+1）²-4（m+1）-5=m²-2m-8，
∴y₂-y₁=（m²-2m-8）-（m²-4m-5）=2m-3，
当2m-3＜0，即m＜时，y₁＞y₂；
当2m-3=0，即m=时，y₁=y₂；
当2m-3＞0，即m＞时，y₁＜y₂．
分析：（1）根据抛物线与x轴的交点的横坐标是二次函数的函数值为0时所对应的自变量，令y=0，则x²-4x-5=0，解方程即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（2）先把y=x²-4x-5配成顶点式，得到抛物线y=x²-4x-5的顶点坐标为（2，-9），然后把y=x²的顶点从原点移到（2，-9）即可；
（3）分别把A（m，y₁），B（m+1，y₂）两点代入y=x²-4x-5，得到y₂-y₁=（m²-2m-8）-（m²-4m-5）=2m-3，然后讨论：当2m-3＜0；2m-3=0；2m-3＜0即可．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：交点的横坐标是二次函数的函数值为0时所对应的自变量．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0的根的含义以及抛物线的平移问题．