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【题目】问题提出

(1)如图ABC是等边三角形,AB=12,若点O是ABC的内心,则OA的长为

问题探究

(2)如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.

问题解决

(3)某城市街角有一草坪,草坪是由ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌.)同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.

如图,已测出AB=24m,MB=10m,AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DEAB交于点E,又测得DE=8m.

请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米)

【答案】(1);(2)PQ=;(3)喷灌龙头的射程至少为19.71米.

【解析】

试题分析:(1)构建RtAOD中,利用cosOAD=cos30°=,可得OA的长;

(2)经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分,根据此结论作出PQ,利用勾股定理进行计算即可;

(3)如图3,作辅助线,先确定圆心和半径,根据勾股定理计算半径:

在RtAOD中,由勾股定理解得:r=13根据三角形面积计算高MN的长,证明ADC∽△ANM,列比例式求DC的长,确定点O在AMB内部,利用勾股定理计算OM,则最大距离FM的长可利用相加得出结论.

试题解析:(1)如图1,过O作ODAC于D,则AD=AC=×12=6,O是内心,ABC是等边三角形,∴∠OAD=BAC=×60°=30°,在RtAOD中,cosOAD=cos30°=OA=6÷=,故答案为:

(2)存在,如图2,连接AC、BD交于点O,连接PO并延长交BC于Q,则线段PQ将矩形ABCD的面积平分,点O为矩形ABCD的对称中心,CQ=AP=3,过P作PMBC于点,则PM=AB=12,MQ=18﹣3﹣3=12,由勾股定理得:PQ= ==

(3)如图3,作射线ED交AM于点C.AD=DB,EDAB,是劣弧,所在圆的圆心在射线DC上,假设圆心为O,半径为r,连接OA,则OA=r,OD=r﹣8,AD=AB=12,在RtAOD中,r2=122+(r﹣8)2,解得:r=13,OD=5,过点M作MNAB,垂足为N,SABM=96,AB=24,ABMN=96,×24×MN=96,MN=8,NB=6,AN=18,CDMN,∴△ADC∽△ANM,DC=ODCD,点O在AMB内部,连接MO并延长交于点F,则MF为草坪上的点到M点的最大距离,上任取一点异于点F的点G,连接GO,GM,MF=OM+OF=OM+OGMG,即MFMG,过O作OHMN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3,OM===MF=OM+r=+1319.71(米).

答:喷灌龙头的射程至少为19.71米.

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1

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y


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