Question

【题目】如图，直线y＝ax+b交x轴于点A，交y轴于点B，且a，b满足a＝+4，直线y＝kx﹣4k过定点C，点D为直线y＝kx﹣4k上一点，∠DAB＝45°．

（1）a＝　 　，b＝　 　，C坐标为　 　；

（2）如图1，k＝﹣1时，求点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点M是直线y＝kx﹣4k上一点，连接AM，将AM绕A顺时针旋转90°得AQ，OQ最小值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）4；4；（4，0）；（2）D（，）；（3）2．

【解析】

（1）根据二次根式有意义的条件分别求出a、b，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标
（2）分D在线段BC上、D在线段CB的延长线上两种情况，证明△AOB≌△BFE，根据全等三角形的性质、一次函数的性质计算；
（3）证明△ANM≌△QHA，得到MN=AH=-m+4，AN=QH=m+1，根据勾股定理、二次根式的性质解答即可．

解：（1）∵4-b≥0，b-4≥0，
∴b=4，
则a=4，

对于直线y=kx-4k，当y=0时，x=4，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：4；4；（4，0）；
（2）当D在线段BC上时，作BE⊥BA交AD的延长线于点E，作EF⊥y轴于F，
则∠BEF+∠EBO=90°，∠ABO+∠EBO=90°，
∴∠BEF=∠ABO，
∵∠DAB=45°，
∴BA=BE，
在△AOB和△BFE中，
，
∴△AOB≌△BFE（AAS），
∴BF=OA，EF=OB=4，
对于直线y=4x+4，当y=0时，x=-1，
∴OA=1，
∴E（4，3）
设直线AE解析式为y=mx+n，
，
解得，，
则直线AE解析式为y=x+，
，
解得， ，

∴D（，）；
当D在CB延长线上时，同理可得D（）；
（3）设M（m，-m+4），
由（2）可得，△ANM≌△QHA，
∴MN=AH=-m+4，AN=QH=m+1，
∴Q（-m+3，-m-1）则OQ2=（-m+3）2+（-m-1）2=2（m-1）2+8，
当m=1时，OQ最小为2，
故答案为：2．