Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，点M是AB边的中点，将△ABC绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重合，得到△DEA，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是__________．

Answer 1

．

【考点】旋转的性质．

【分析】连接PM，根据∠B的正切值设AC=3k，BC=4k，利用勾股定理列式求出k值，得到AC、BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=DM=EM，再根据等边对等角的性质可得∠EAM=∠E，然后求出∠EAM=∠B，根据等腰三角形三线合一的性质可得PM⊥AB，然后求出△ABC和△PMB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PB的长，再根据CP=BC﹣PB代入数据进行计算即可得解．

【解答】解：连接PM，∵tanB=，

∴设AC=3k，BC=4k，

则（3k）²+（4k）²=10²，

解得k=2，

∴AC=3×2=6，BC=4×2=8，

∵点M是AB边的中点，△DEA是△ABC绕点M旋转得到，

∴AM=MB=DM=EM=5，

∴∠EAM=∠E，

又∵∠B=∠E，

∴∠EAM=∠B，

∴△APB是等腰三角形，

∵点M是AB的中点，

∴PM⊥AB，

∴△ABC∽△PMB，

∴=，

即=，

解得PB=，

∴CP=BC﹣PB=8﹣=．

故答案为：．

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．