Question

如图，已知正方形网格中每个小正方形的边长为1，点O、M、N、A、B、C都是小正方形的顶点．

（1）记向量，，试在该网格中作向量．计算：=__________；

（2）联结AD，求证：△ABC∽△DAB；

（3）填空：∠ABD=__________度；联结CD，比较∠BDC与∠ACB的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【考点】相似形综合题；*平面向量．

【分析】（1）根据平行四边形法则作向量，小正方形的两条对角线的长度即为所求；

（2）由图可知△ABC和△DAB各边的长，根据三角形三边对应成比例证明相似；

（3）由图可知∠ABD=90°+45°=135°，借助于相似三角形（△ABD∽△CBA）的性质来计算．

【解答】（1）解：作向量，

=2，

故答案为：2；

（2）证明：∵，

∴，

∴△ABC∽△DAB；

（3）解：由图可知∠ABD=90°+45°=135°，

故答案为：135°；

∵AC=CD=，

∴∠CAD=∠CDA，

又△ABD∽△CBA，

∴∠ADB=∠CAB，

∴∠CAD﹣∠CAB=∠CDA﹣∠ADB，

即∠BAD=∠BDC，

∵∠BAD=∠BCA，

∴∠BDC=∠ACB．

【点评】本题主要考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，根据正方形网格中每个小正方形的边长为1，算出各线段的长度是解答此题的关键．