Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，且经过点，连接．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）△ANM与是否相似?若相似，请求出此时点、点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是直线上方的抛物线上一动点(不与点重合)，过作轴交直线于点，以为直径作⊙，则⊙在直线上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）点M（0，）、点N（，0）或点M（0，），N（-3，0）或点M（-1，）、点N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；（3）QH有最大值，当x=时，其最大值为．

【解析】

（1）用交点式函数表达式得：y=a（x-2）（x+3），将点D坐标代入上式即可求解；
（2）分∠MAB=∠BAD、∠MAB=∠BDA，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；
（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos∠PQH=PQ==，即可求解．

解：（1）用交点式函数表达式得：y=a（x-2）（x+3），
将点D坐标代入上式并解得：，
故函数的表达式为：…①，
则点C（0，）；
（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，
①∠MAN=∠ABD时，
（Ⅰ）当△ANM∽△ABD时，
直线AD所在直线的k值为，则直线AM表达式中的k值为，
则直线AM的表达式为：，故点M（0，），
，则AN=，则点N（，0）；
（Ⅱ）当△AMN∽△ABD时，
同理可得：点N（-3，0），点M（0，），
故点M（0，）、点N（，0）或点M（0，），N（-3，0）；
②∠MAN=∠BDA时，
（Ⅰ）△ABD∽△NMA时，
∵AD∥MN，则tan∠MAN=tan∠BDA=，
AM：y=（x-2），则点M（-1，）、点N（-3，0）；
（Ⅱ）当△ABD∽△MNA时，
，即，

解得：AN=，
故点N（，0）、M（-1，）；
故：点M（-1，）、点N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；
综上，点M（0，）、点N（，0）或点M（0，），N（-3，0）或点M（-1，）、点N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；
（3）如图所示，连接PH，

由题意得：tan∠PQH=，则cos∠PQH=，
则直线AD的表达式为：y=，
设点P（x，），则点Q（x，），
则QH=PQcos∠PQH=PQ=

=

=，
∵，

故QH有最大值，当x=时，其最大值为．