Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，以CD为直径作⊙O，交边AC于点P，连接BP，交AD于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）如果PB是⊙O的切线，BC=4，求PE的长．

Answer 1

【答案】（1） 证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：

（1）由AB=AC，点D是BC的中点可得AD⊥BC，结合CD是⊙O的直径，即可得AD是⊙O的切线；

（2）连接OP，由已知易求得BD、OB、OP和BP的长，再证PE=DE，△BDE∽△BPO即可列出比例式求得DE的长，从而可得PE的长.

试题解析：

（1）∵AB=AC，点D是边BC的中点，

∴AD⊥CD，

∵CD为⊙O的直径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）连接OP，

∵点D是边BC的中点，BC=4，CD是⊙O的直径，

∴CD=BD=2，OP=1，OB=3，

∴在Rt△BOP中，BP=，

∵AD是⊙O的切线，PB是⊙O的切线，

∴PE=DE，∠BPO=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADB=∠BPO=90°，

又∵∠DBE=∠PBO，

∴△BDE∽△BPO，

∴，即，解得：DE=，

∴PE=DE=.