【题目】(本题满分8分)已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系: ;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数: 个;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论,可求得∠P的度数是 ;
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,请直接写出∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系是 .
【答案】(1)∠A+∠D=∠C+∠B(2)6个(3)45°(4)2∠P=∠D+∠B
【解析】试题分析:(1)利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC,再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC,然后整理即可得解;
(2)根据“8字形”的结构特点,根据交点写出“8字形”的三角形,然后确定即可;
(3)根据(1)的关系式求出∠OCB﹣∠OAD,再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣∠PCM,然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解;
(4)根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB﹣∠OAD,再用∠D、∠P表示出∠DAM﹣∠PCM,然后根据角平分线的定义可得∠DAM﹣∠PCM=(∠OCB﹣∠OAD),然后整理即可得证.
解:(1)在△AOD中,∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D,
在△BOC中,∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C,
∵∠AOD=∠BOC(对顶角相等),
∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C,
∴∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)交点有点M、O、N,
以M为交点有1个,为△AMD与△CMP,
以O为交点有4个,为△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△CON与△AOD,
以N为交点有1个,为△ANP与△CNB,
所以,“8字形”图形共有6个;
(3)∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,
∴∠OCB﹣∠OAD=4°,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=∠OAD,∠PCM=∠OCB,
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=(∠OAD﹣∠OCB)+∠D=×(﹣4°)+40°=38°;
(4)根据“8字形”数量关系,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
所以,∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B,∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=∠OAD,∠PCM=∠OCB,
∴(∠D﹣∠B)=∠D﹣∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D.
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【题目】(1)已知3×9m×27m=321,求(﹣m2)3÷(m3m2)的值.
(2)如图,已知∠O=30°,点P是射线OB上一个动点,要使△APO 是钝角三角形,求∠APO的取值范围.
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【题目】如图①,南京中山陵的台阶拾级而上被分成坡度不等的两部分.图②是台阶的侧面图,若斜坡BC长为120m,在C处看B处的仰角为25°;斜坡AB长70m,在A处看B处的俯角为50°,试求出陵墓的垂直高度AE的长.
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47)
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,且四边形AOBC是矩形,BC=6,矩形AOBC的面积为18.
(1)求线段OC的长.
(2)求直线AB的解析式.
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【题目】已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一,二,四象限,那么直线y=bx-a一定不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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【题目】甲、乙、丙三人拿出同样多的钱,合伙订购了同样规格的若干件小饰品,小饰品买来后,甲、乙分别比丙多拿了12件、9件小饰品,最后结算时,乙付给 丙20元,那么甲应付给丙__________元.
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