Question

2．直线y=x-10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=3$\sqrt{5}$，cos∠OAB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过O、C、A三点的抛物线的表达式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点P（P点在第一象限），使得以点P、O、C、A为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若将点O、A分别变换为点Q（-4m，0）R（6m，0）（m＞0且为常数），设过点Q、R两点以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QNM，△QNR的面积为S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer 1

分析 （1）已知了AB的长以及∠OAB的余弦值，可过B作BD⊥x轴于D，即可求出BD和AD的长，进而可得出OD的长，由此可求出B点坐标，也就得出了C点坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）本题可分三种情况：
①CP∥OA，可将C点纵坐标代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标；然后判断CP是否与OA相等即可．如果不相等，则四边形POCA是梯形，反之则不是．
②OP∥AC，先求出直线AC的解析式，由于直线OP与直线AC平行，因此两函数的斜率相同，再根据O点坐标，可求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．然后判断OP是否与AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根据Q、R的坐标求出抛物线的解析式，然后求出N点和M点的坐标，由于抛物线的开口方向不确定，因此分两种情况，由于两种情况解法相同，以开口向上为例说明：由于三角形QNM的面积无法直接求出，因此可将其面积化为其他图形面积的和差来求．过M作MG⊥x轴于G，则三角形QNM的面积可以用梯形QNMG的面积+三角形QON的面积-三角形QMG的面积来得出．然后分别表示出三角形QNM和QNR面积，进行比较即可．

解答 解：（1）如图，
过点B作BD⊥OA于点D．
在Rt△ABD中，
∵cos∠OAB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠OAB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=3$\sqrt{5}$，
∴BD=AB•sin∠OAB=3$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=3．
又由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=6．
∴OD=OA-AD=4．
∵点B在第一象限内，
∴点B的坐标为（4，3）．
∴点B关于x轴对称的点C的坐标为（4，-3）．
∵直线y=x-10与x轴交于A点，
∴点A的坐标是（10，0），
设经过O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx（a≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=-3}\\{100a+10b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式为y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x；
（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．
①∵点C（4，-3）不是抛物线y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P₁．
则直线CP₁的函数表达式为y=-3．
对于y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x，令y=-3，则x=4或x=6．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-3}\end{array}\right.$．
而点C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四边形P₁AOC中，CP₁∥OA，显然CP₁≠OA．
∴点P₁（6，-3）是符合要求的点．
②若AP₂∥CO．设直线CO的函数表达式为y=k₁x．
将点C（4，-3）代入，
得4k₁=-3．
∴k₁=-$\frac{3}{4}$．
∴直线CO的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x．
于是可设直线AP₂的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+b₁．
将点A（10，0）代入，
得-$\frac{3}{4}$×10+b₁=0．
∴b₁=7.5．
∴直线AP₂的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{5}{4}x}\end{array}\right.$，
得：x²-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=12}\end{array}\right.$．
而点A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，则P₂E=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，
得AP₂=$\sqrt{{P}_{2}{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20．
而CO=OB=5．
∴在四边形P₂OCA中，AP₂∥CO，但AP₂≠CO．
∴点P₂（-6，12）是符合要求的点．
③若OP₃∥CA．设直线CA的函数表达式为y=k₂x+b₂．
将点A（10，0），C（4，-3）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{10{k}_{2}+{b}_{2}=0}\\{4{k}_{2}+{b}_{2}=-3}\end{array}\right.$．
∴直线CA的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x-5．
∴直线OP₃的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{5}{4}x}\end{array}\right.$，
得：x²-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=14}\\{y=7}\end{array}\right.$，
而点O（0，0），
∴P₃（14，7）．
过点P₃作P₃F⊥x轴于点F，则|P₃F|=7．
在Rt△OP₃F中，由勾股定理，
得OP₃=$\sqrt{{P}_{3}{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+1{4}^{2}}$=7$\sqrt{5}$．
而CA=AB=3$\sqrt{5}$．
∴在四边形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴点P₃（14，7）是符合要求的点．
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P₁（6，-3），P₂（-6，12），P₃（14，7），
使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．

（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a（x-1.5k）²-$\frac{49}{4}$ak²．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（1.5k，0），N（0，-10ak²），M（1.5k，-$\frac{49}{4}$ak²），
∴QO=2k，QR=7k，OG=1.5k，QG=3.5k，ON=10ak²，MG=$\frac{49}{4}$ak²．
∴S_△QNR=$\frac{1}{2}$QR•ON=$\frac{1}{2}$×7k×10ak²=35ak³．
S_△QNM=S_△QNO+S_梯形ONMG-S_△QMG=$\frac{1}{2}$•QO•ON+$\frac{1}{2}$（ON+GM）•OG-$\frac{1}{2}$•QG•GM=$\frac{1}{2}$×2k×10ak²+$\frac{1}{2}$×（10ak²+$\frac{49}{4}$ak²）×1.5k-$\frac{1}{2}$×3.5k×$\frac{49}{4}$ak²=$\frac{21}{4}$ak³．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N．
同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．
综上可知，S_△QNM：S_△QNR的值为3：20．

点评 此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、三角形面积的求法等重要知识点，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．