Question

【题目】如图，已知等边三角形△ABC，点 D，E 分别在 CA，CB 的延长线上，且 BE=CD，O为 BC 的中点，MO⊥AB 交 DE 于点 M，OM=，AD=2，则 AB=________________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

先添加辅助线构造等腰三角形CFD，再推到O是EF中点，之后根据等腰三角形和等边三角形的性质来判断OM∥FD，之后判断出OM是三角形EFD的中位线即可求解本题．

解：如图，延长EC到点F，使CF=BE，

连接DF，

∵BE=CD，

∴CF=CD，

作CH⊥FD于H，

则H为FD的中点，

即FD=2FH，

∵ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠F=∠FDC=30°，

设ABC的边长为4a，

则CF=CD=2+4a，CE=4a+4a+2=8a+2，

∵O是BC中点，

∴OC=OB=2a，

∴OF=OE=6a+2，

故O为EF中点，

∵MO⊥AB 交 DE 于点 M，

∴∠BOM=30°=∠F，

∴OM∥FD，

故M为ED中点，

∴,

故,

在直角CHF中，

∵CF=4a+2，∠F=30°，

∴CH=2a+1，

，

∴，

解得：，

∴AB=4a=4；

故答案为：4．