【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径两弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)AB AF(选填“=”,“≠”,“>”,“<”):AE ∠BAD的平分线.(选填“是”或“不是”)
(2)在(1)的条件下,求证:四边形ABEF是菱形.
(3)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为 ,∠ABC= °.
【答案】(1)=,是;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)根据角平分的性质和尺规作图原理即可得到答案;
(2)先证明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由AD∥BC,推出∠EAF=∠AEB=∠EAB,得到BE=AB=AF,由此即可证明.
(3)根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形,由此即可解决问题.
(1)解:AB=AF;AE平分∠BAD的平分线;
故答案为=,是;
(2)证明:∵AE平分∠BAF,
∴∠BAE=∠FAE,
∵AF∥BE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=EB,
而AF=AB,
∴AF=BE,AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形,
而AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形;
(3)解:∵四边形ABEF是菱形;
而四边形ABEF的周长为40,
∴AB=10,OA=OE,OB=OF=5,AE⊥BF,
∴△ABF为等边三角形,
∴∠BAF=60°,
∴∠ABC=120°,
∵OA=OB=5,
∴AE=2OA=10.
故答案为10,120.
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【题目】某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
问题提出:
如下图是某住户窗户上方安装的遮阳蓬,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计:
如下图,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面的遮阳篷
数据收集:
通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线与遮阳篷的夹角最大():冬至这一天的正午时刻,太阳光线与遮阳篷的夹角最小();窗户的高度
问题解决:
根据上述方案及数据,求遮阳篷的长.(结果精确到,参考数据:)
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【题目】如图,在正方形网格纸中,每一个小正方形的边长为一线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上,请按下面的要求画图.
(1)在图1中画钝角三角形ABC,点C落在小正方形顶点上,其中△ABC有一个内角为135°,△ABC的面积为4,并直接写出∠ABC的正切值;
(2)在图1中沿小正方形网格线画一条裁剪线,沿此裁剪线将钝角三角形ABC分隔成两部分图形,按所裁剪图形的实际大小,将这两部分图形在图2中拼成一个平行四边形DEFG,要求裁成的两部分图形在拼成平行四边形时互不重叠且不留空隙,其中所拼成的平行四边形的周长为8+2,各顶点必须与小正方形的顶点重合.
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【题目】如图,在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,点C在OA上,AC=1,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数(k≠0)的图象经过圆心P,则k=________________。
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【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c图象的一部分,且抛物线的对称轴为x=﹣1,那么下列说法正确的是( )
①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0.
A. ①②③④B. ②④⑤C. ②③④D. ①④⑤
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【题目】某商店购进一种商品,单价30元,试销中发现这种商品每天的销售量夕(件)与每件的销售价(元)满足关系:=100-2.若商店每天销售这种商品要获得200元的销售利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件?
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【题目】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形,再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如上长方形,若按此规律继续作长方形,则序号为⑦的长方形周长是 .
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【题目】如图所示,二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(4,0),B(﹣4,﹣4),且与y轴交于点C.
(1)请求出二次函数的解析式;
(2)若点M(m,n)在抛物线的对称轴上,且AM平分∠OAC,求n的值.
(3)若P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过P作PQ∥AC,与AB上方的抛物线交于点Q,与x轴交于点H,试问:是否存在这样的点Q,使PH=2QH?若存在,请直接出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,以点(3,-5)为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是 ( )
A.r>4 B.0<r<6 C.4≤r<6 D.4<r<6
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