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【题目】已知关于x的两个一元二次方程:

方程①

方程②:x2+(2k+1)x﹣2k﹣3=0.

(1)若方程①有两个相等的实数根,求:k

(2)若方程①和②只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根.

(3)若方程①和②有一个公共根a,求代数式(a2+4a﹣2)k+3a2+5a的值.

【答案】(1)k=﹣4;(2)证明见解析;(3)5;

【解析】

(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1+≠01=0,即(k+2)2-4(1+)×(-1)=0,求出k的值即可.(2)计算第2个方程的判别式得2=(2k+3)2+4>0,利用判别式的意义可判断方程②总有实数根,于是可判断此时方程①没有实数根,(3)设a 是方程①和②的公共根,利用方程解的定义得到(1+)a2+(k+2)a-1=0 ,a2+(2k+1)a-2k-3=0④,利用③×2(2+k)a2+(2k+4)a﹣2=0⑤,由⑤+④得(3+k)a2+(4k+5)a﹣2k=5,然后利用整体代入的方法计算代数式的值.

1)∵方程①有两个相等的实数根,

,Δ1=0,

k≠﹣2,1=b2﹣4ac=(k+2)2﹣4(1+)×(﹣1)=k2+4k+4+4+2k=k2+6k+8,

则(k+2)(k+4)=0,

k=﹣2,k=﹣4,

k≠﹣2,

k=﹣4;

(2)∵△2=(2k+1)2﹣4×1×(﹣2k﹣3)=4k2+4k+1+8k+12=4k2+12k+13=(2k+3)2+4>0,

∴无论k为何值时,方程②总有实数根,

∵方程①②只有一个方程有实数根,

∴此时方程①没有实数根.

(3)根据a是方程①和②的公共根,

, a2+(2k+1)a﹣2k﹣3=0

∴③×2得:(2+k)a2+(2k+4)a﹣2=0

+④得:(3+k)a2+(4k+5)a﹣2k=5,

代数式=(a2+4a﹣2)k+3a2+5a=(3+k)a2+(4k+5)a﹣2k=5.

故代数式的值为5.

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