Question

【题目】如图1，将1张菱形纸片ABC的（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD．再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC、BB′，∠DAB=45°，有以下结论：①AC=BB′；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB′= AB，其中正确结论的序号是 ． （把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：如图1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=45°，
∴∠ADB=∠ABD=67.5°，
∴α=2∠ADB=135°，
如图2，

∵将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角135°，
∴DB=DB′，DC=DA，CB′=AB，∠7=∠3=67.5°，∠6=135°，
在△DBB′中，∠4=∠5= （180°﹣135°）=22.5°，
∴∠ABB′=∠3+∠4=90°，∠BB′C=∠5+∠7=90°，
∴AB∥CB′，
而AB=CB′，
∴四边形ABB′C为矩形，
∴AC=BB′，AC⊥AB，所以①②正确，
∵∠CAB=90°，∠1=45°，
∴∠CAD=45°，
而DC=DA，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠CDA=90°；BB′= AB，所以③正确，④错误．
所以答案是①②③．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质和旋转的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．