Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，m）在边AB上，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且cos∠BOA= ．

（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和m的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，点G、H分别是y轴、x轴上的点，当△OGH≌△FGH时，求线段OG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵点E（4，m）在边AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，

∵cos∠BOA= ，

∴OB=5，

∴AB= =3

（2）

解：由（1），可得点B的坐标为（4，3），

∵点D为OB的中点，

∴点D（2，1.5）．

∵点D在反比例函数 （k≠0）的图象上，

∴k=3，

∴反比例函数解析式为 ，

又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，

∴

（3）

解：设点F（a，3），

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴a=1，

∴CF=1，

设OG=x，

∵△OGH≌△FGH，

∴OG=FG=x，CG=3﹣x，

在Rt△CGF中，

由勾股定理可得GF2=CF2+CG2，

即x2=（3﹣x）2+12，

解得x= ，

∴OG=

【解析】（1）由矩形的性质可求得OA，由三角函数定义可求得OB，则可求得AB的长；（2）由条件可求得D点坐标，代入反比例函数解析式，可求得其解析式，把E点坐标代入解析式可求得m的值；（3）由反比例函数解析式可求得F点坐标，则可求得CF的长，设OG=x，利用三角形全等的性质可表示出CG和FG，在Rt△CGF中利用勾股定理可得到方程，可求得OG的长．
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的性质和矩形的性质，掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．