Question

【题目】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E，F分别在边AB，CD上)，使点B落在AD边上的点M处（点M不与A，D重），点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接MB，当点M在边AD上移动时.有下列结论：①BM=EF；②0＜PF＜3 ；③∠AMB=∠BMP；④△PDM的周长随之改变．其中正确结论的序号是_______．（把你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△GFE（AAS），得出BM=EF，①正确；
若点M与A重合，则C与D重合，P与D重合，PF=3；当M与D重合时，N与C重合，P与C重合，EF与AC重合，CF=0；得出0＜PF＜3，②正确；
由等腰三角形的性质得出∠ABM=∠EMB，由∠ABC=∠EMN=90°，得出∠AMB=∠BMP，③正确；
可证△AEM∽△DMP，两个三角形的周长的比是AE：MD，设AM=x，根据勾股定理可以用x表示出MD的长与△MAE的周长，根据周长的比等于相似比，求出△PDM的周长=12为定值，得出④不正确，即可得出结论．

解：作FG⊥AB于G，如图所示：
则∠EGF=90°，GF=BC=AB，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠ABM+∠AMB=90°，
由折叠的性质得：BM⊥EF，BE=ME，∠EMN=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠GEF=∠ABM+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠GEF，
在△ABM和△GFE中，

，
∴△ABM≌△GFE（AAS），
∴BM=EF，①正确；
若点M与A重合，则C与D重合，P与D重合，PF=3；
当M与D重合时，N与C重合，P与C重合，EF与AC重合，CF=0；
∵点M不与A，D重合，
∴0＜PF＜3，②正确；
∵BE=ME，
∴∠ABM=∠EMB，
∵∠ABC=∠EMN=90°，
∴∠AMB=∠BMP，③正确；
设AM=x，则MD=6-x．
由折叠性质可知，EM=BE=6-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（6-AE）2，
整理得：AE2+x2=36-12AE+AE2，
∴AE= （36-x2），
又∵∠EMP=90°，
∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴，
∴△PDM的周长=△MAE的周长 =12．
∴△PDM的周长保持不变，④不正确；
故答案为：①②③．