Question

有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．
应用此定理进行证明求解．
应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；

应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．

Answer 1

考点：平行线之间的距离,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：探索：利用平行线的性质得出，∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA，进而得出△ABC≌△CDA（ASA），求出即可；
应用一：作DE∥AB交BC于点E，利用平行线的性质得出∠B=∠C；
应用二：利用平行线的性质结合勾股定理得出AD与BC两条线段的和．

解答：探索：
证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中，

∠BAC=∠DCA AC=AC ∠ACB=∠DAC

，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD；
应用一：
证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB=DE
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C；
应用二、
解：如图3，
作DE∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，
∵DE∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，
故BC+AD=BC+CF=BF=5．

点评：此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．