Question

【题目】在平面直角坐标系中，边长为 的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，顶点B，A在x，y轴正半轴上运动（x轴的正半轴，y轴的正半轴都不包含原点O）顶点C、D都在第一象限．

（1）如图1，当∠ABO=45°时，求直线OE的解析式，并说明OE平分∠AOB；
（2）当∠ABO≠45°时（如图2所示）：OE是否还平分∠AOB仍然成立？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵边长为 的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，

∴AE⊥BE，AE=BE，AB= ，∠ABE=45°，

∴由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，即2AE2= ，

∴AE=BE=1．

∵∠ABO=45°，

∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°，

∴四边形AOBE是正方形，

∴OE平分∠AOB，点E的坐标是（1，1）．

设直线OE的解析式为：y=kx（k≠0），

则有1=k×1，即k=1，

∴直线OE的解析式为y=x

（2）

解：OE平分∠AOB仍然成立．

证明：过点E做EF、EG分别垂直于y轴和x轴，垂足分别是点F和点G，则四边形EFOG是矩形，如图所示．

∴∠FEG=90°，

∴∠FEA+∠AEG=90°．

又∵∠AEG+∠GEB=90°，

∴∠FEA=∠GEB．

在△FEA和△GEB中， ，

∴△FEA≌△GEB（AAS），

∴FE=GE，

∴矩形EFOG是正方形，

∴OE平分∠AOB．

【解析】（1）根据正方形的性质结合AB= ，∠ABO=45°，可得出点E的坐标以及四边形AOBE是正方形，从而可得出OE平分∠AOB，再由点E的坐标利用待定系数法即可求出直线OE的解析式；（2）过点E做EF、EG分别垂直于y轴和x轴，垂足分别是点F和点G，则四边形EFOG是矩形，根据边角关系可证出△FEA≌△GEB，进而得出FE=GE，由此即可得出矩形EFOG是正方形，再根据正方形的性质即可得出OE平分∠AOB．