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【题目】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.

【答案】
(1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,

∴∠2=∠5,∠4=∠6,

∵MN∥BC,

∴∠1=∠5,∠3=∠6,

∴∠1=∠2,∠3=∠4,

∴EO=CO,FO=CO,

∴OE=OF


(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,

∵CE=12,CF=5,

∴EF= =13,

∴OC= EF=6.5


(3)解:当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

证明:当O为AC的中点时,AO=CO,

∵EO=FO,

∴四边形AECF是平行四边形,

∵∠ECF=90°,

∴平行四边形AECF是矩形.


【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠4,进而得出答案;(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,进而利用勾股定理求出EF的长,即可得出CO的长;(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识,掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补,以及对直角三角形斜边上的中线的理解,了解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

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