Question

【题目】如图，在正方形中，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点．

（1）如图①，求证：；

（2）如图②，连接为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长；

（3）如图③，过点作于，当时，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；；（3）面积为.

【解析】

（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分线的性质得出MF=MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，证出∠AMF=∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；

（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出，求出AN=2，由勾股定理得出BN==4，由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=AN=，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出，求出OP=，即可得出结果；

（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6=3，得出MH=3，MN=2，由勾股定理得出HN=，由三角形面积公式即可得出结果．

（1）证明：过点作于，作于，如图①所示：

，

四边形是正方形，

，

，

，

，

四边形是正方形，

，

，

，

，

，

在和中，

，

；

（2）解：在中，由（1）知：，

，

，

，

，

在中，，

，

，

解得：，

在中，，

在中，是的中点，

，

，

，

，

，

，即： ，

解得：，

；

（3）解：过点作于，如图③所示：

，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

在等腰直角中，，

，

，

，

，

的面积为．