Question

【题目】对于给定函数y＝a1x2+b1x+c1（其中a1、b1、c1为常数，且a1≠0），则称函数y＝（a1＝a2，b1+b2＝0，c1+c2＝0）为函数y＝a1x2+b1x+c1（其中a1，b1，c1为常数，且a1≠0）的“相关函数”，此“相关函数”的图象记为G．

（1）已知函数y＝﹣x2+4x+2．

①直接写出这个函数的“相关函数”；

②若点P（a，1）在“相关函数”的图象上，求a的值；

③若直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，直接写出m的取值范围；

（2）设函数y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的相关函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①y＝；②a的值为﹣3或﹣1或2+；③m≤﹣2或2＜m＜6；（2）1≤n≤2或n≥

【解析】

（1）①直接利用“相关函数”得出结论；

②分a≥0和a＜0，代入相关函数关系式中，即可得出结论；

③画出函数图象，直接写出结论；

（2）先得出y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相关函数”，再分情况，借助图象即可得出结论．

解：（1）①由“相关函数”得出y＝；

②∵点P（a，1）在“相关函数”的图象上，

当a≥0时，﹣a2+4a+2＝1，

解得，a＝2+或a＝2﹣（舍），

当a＜0时，﹣a2﹣4a﹣2＝1，

解得，a＝﹣1或a＝﹣3，

即：a的值为﹣3或﹣1或2+；

③如图1，

由①知，y＝，

当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，

由图象知，m≤﹣2或2＜m＜6；

（2）由题意知，函数y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相关函数”为y＝，

而n2+1＞n2﹣1，

①当n2﹣1＞1时，如图2，

∴n＜﹣2（舍）或n＞2，

Ⅰ、当n≥4时，

当x＝2时，y＝﹣4+2n+1＝2n﹣3，

当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，

i）当2n﹣3＞4n﹣9，

∴n＜3，此种情况不存在；

ii）当2n﹣3≤4n﹣9，

∴n＞3，

即：n≥4，

Ⅱ、当2＜n＜4时，

当x＝2时，y＝﹣4+2n+1＝2n﹣3

i）当2n﹣3＞n2﹣1，

∴（n﹣2）2＜0，不符合题意，

ii）当2n﹣3≤n2﹣1，

∴（n﹣2）2≥0，

此时，y0＝n2﹣1，

∵≤y0≤9，

∴≤n2﹣1≤9，

∴≤n≤2，

即：≤n＜4，

②当0＜n≤2时，

如图3，而n2+1＞n2﹣1，

∴≤n2+1≤9，

∴1≤n≤4，

∴1≤n≤2，

即：1≤n≤2或n≥．