Question

如图，AC是⊙O的直径，弦BD垂直平分AO，E为垂足．
（1）求四边形ABCD的各个内角的度数；
（2）找出图中度数为30°的所有的角；
（3）若BD=2cm，求弓形BAD的高AE．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理

专题：

分析：（1）首先证明△ABO是等边三角形，可得∠BAO=60°，进而得到∠BAD=120°，再根据圆内接四边形对角互补可得∠DAC=60°，根据直径所对的角是直角可得∠ABC=∠ADC=90°；
（2）根据三角形内角和为180度，再结合各角度数可得∠ABD=∠ADB=∠BCA=∠ACD=30°；
（3）根据垂径定理可得BE=1cm，再利用勾股定理可得答案．

解答：解：（1）连接BO，
∵弦BD垂直平分AO，
∴AB=BO，
∵AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
同理∠DAC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°；

（2）∵BD⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAO=60°，
∴∠ABD=30°，
同理：∠ADB=30°，
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠BCA=30°，同理：∠ACD=30°；

（3）∵BD=2cm，
∴BE=1cm，
∵∠ABE=30°，
∴AB=2AE，
∵AB²=AE²+BE²，
（2AE）2=AE²+1²，
解得：AE=

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．

点评：此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．