Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A的外角平分线交BC的延长线于D，交⊙O于E，求证：AD²=BD•CD-AB•AC．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,圆周角定理,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：易证△CEA∽△DBA，从而得到AB•AC=AD•AE，易证△DEC∽△DBA，从而得到DE•DA=DB•DC，就可证到结论．

解答：证明：连接EC，如图所示，
根据圆周角定理可得∠CEA=∠CBA．
∵∠3=∠2，∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴∠EAC=∠BAD．
∵∠CEA=∠CBA，∠EAC=∠BAD，
∴△CEA∽△DBA，
∴

AC

AD

=

AE

AB

，
∴AB•AC=AD•AE．
∵∠D=∠D，∠CED=∠ABD，
∴△DEC∽△DBA，
∴

DE

DB

=

DC

DA

，
∴DE•DA=DB•DC，
∴AB•AC=AD•AE=AD•（DE-AD）=AD•DE-AD²，
∴AD²=AD•DE-AB•AC=BD•CD-AB•AC．

点评：本题主要考查圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，而证得△CEA∽△DBA及△DEC∽△DBA是解决本题的关键．