Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：EB•DF=AE•BD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先利用△BFC∽△BCE，得出BC²=BE×BF，再利用射影定理求出BC²=BD×BA，可得出BE×BF=BD×BA，再由公共角得出△BFD∽△BAE，即可得出EB•DF=AE•BD．

解答：证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵∠BCE=90°，∠CBF=∠EBC，
∴△BFC∽△BCE
∴

BC

BE

=

BF

BC

，即BC²=BE×BF，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BC²=BD×BA，
∴BE×BF=BD×BA
∴

BE

BD

=

BA

BF

，
又∵∠DBF=∠EBA
∴△BFD∽△BAE，
∴

EB

AE

=

BD

DF

，即EB•DF=AE•BD．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出BE×BF=BD×BA．