Question

在△ABC中，tanA=

1

2

，AC边的垂直平分线交AB边于点O，以O为圆心，OA为半径⊙O，交AB边于点D，AD=3BD．
  （1）求证：BC是⊙O的切线；
  （2）将AC沿AD翻折，交⊙O于E，BC=4，求△BEC的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：（1）作DG∥AC交BC于G，根据线段的垂直平分线的性质得OA=OC，即点C在⊙O上，则利用圆周角定理得到∠ACD=90°，在Rt△ACD中由于tanA=

CD

AC

=

1

2

，设CD=2x，则AC=4x，根据勾股定理得AD=2

5

x，所以BD=

2 5

3

x，再证明△BDG∽△BAC，利用相似的性质得DG=x，BG=

1

4

BC，接着在Rt△CDG中，利用勾股定理计算出CG=

5

x，可计算出BC=

4 5

3

x，在△BOC中，计算出OC²=5x²，BC²=

80

9

x²，OB²=

125

9

x²，所以OC²+BC²=OB²，根据勾股定理的逆定理得∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC是⊙O的切线；
（2）CE交AB于H，根据折叠的性质得CE⊥AB，再根据垂径定理得CH=EH，利用（1）中的计算结果得到BC=

4 5

3

x=4，则x=

3 5

5

，所以OCx=3，OB=5，
利用面积法得

1

2

CH•OB=

1

2

OC•BC，可计算出CH=

12

5

，然后在Rt△BCH中，根据勾股定理计算出=

16

5

，最后根据萨迦县面积公式求解．

解答：（1）证明：作DG∥AC交BC于G，如图，
∵AC边的垂直平分线交AB边于点O，
∴OA=OC，即点C在⊙O上，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，tanA=

CD

AC

=

1

2

，设CD=2x，则AC=4x，
∴AD=

CD2+AC2

=2

5

x，
∴OC=OD=OA=

5

x，
∵AD=3BD，
∴BD=

2 5

3

x，
∵DG∥AC，
∴∠CDG=∠ACD=90°，△BDG∽△BAC，
∴

DG

AC

=

BG

BC

BD

BA

=

1

4

，
∴DG=

1

4

•4x=x，BG=

1

4

BC，
在Rt△CDG中，CG=

DG2+CD2

=

5

x，
∴BG=

1

3

CG=

5

3

x，
∴BC=

4 5

3

x，
在△BOC中，∵OC²=（

5

x）²=5x²，BC²=（

4 5

3

x）²=

80

9

x²，
∴OC²+BC²=

125

9

x²，
而OB²=（

5

x+

2 5

3

x）²=

125

9

x²，
∴OC²+BC²=OB²，
∴△OBC为直角三角形，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：CE交AB于H，如图，
∵△ACB沿AD翻折得到△AEB，
∴CE⊥AB，
∴CH=EH，
∴BC=

4 5

3

x=4，
∴x=

3 5

5

，
∴OC=

5

x=3，OB=

5

x+

2 5

3

x=5，
∵

1

2

CH•OB=

1

2

OC•BC，
∴CH=

12

5

，
在Rt△BCH中，BH=

BC2-CH2

=

16

5

，
∴S_△BCE=

1

2

BH•CE=

1

2

BH•2CH=

16

5

•

12

5

=

192

25

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理及其逆定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质和折叠的性质．