Question

矩形ABCD的四个顶点在正△EFG的边上，已知△EFG的边长为2，记矩形ABCD的面积为S，AB边长为x，求S关于x的函数表达式和自变量的取值范围．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,矩形的性质

专题：

分析：由等边三角形的性质可得∠G=60°，所以GB=ABtan60°=

3

x，同理CF=CDtan60°=

3

x，所以BC=GF-GB-CF=2-2

3

x，所以可表示出S，再由A点最多到E点，所以AB小于△EFG的高，可求得其取值范围．

解答：解：因为△EFG为正三角形，
所以∠G=60°，
所以GB=ABtan60°=

3

x，同理CF=CDtan60°=

3

x，
所以BC=GF-GB-CF=2-2

3

x，
所以S=AB×BC=x（2-2

3

x）=2x-2

3

x²，
又因为0＜BC＜BF，
所以0＜2-2

3

x＜2，
可求得：0＜x＜

3

，
所以S关于x的函数表达式为：S=2x-2

3

x²，自变量的取值范围：0＜x＜

3

．

点评：本题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是利用三角函数表示出BC的长度．