Question

在四边形ABCD，AC与BD相交于点E，AC⊥AB，BD⊥CD，S_△EBC=16，S_△AED=8．求：
（1）AD：BC的值；
（2）问：∠BEC是不是定角？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：

分析：（1）利用∠BAC=∠BDC=90°得出A、B、C、D四点共圆，且圆的直径是BC，即可得到∠CBE=∠DAE，由此可得△AED∽△BEC，利用面积比等于相似比的平方求解即可．
（2）利用AD=

2

2

BC，且BC是直径．得出弦AD所对的圆周角∠ABD=45°．利用三角形的外角性质即可得出∠BEC的度数．

解答：解：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且圆的直径是BC，
∴∠CBE=∠DAE，
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∵S_△EBC=16，S_△AED=8．
∴

AD

BC

=

8 16

=

1 2

=

2

2

．
（2）∠BEC为定角．
∵AD=

2

2

BC，且BC是直径．
∴弦AD所对的圆心角为90°，
∴弦AD所对的圆周角∠ABD=45°，
∴∠BEC=∠BAE+∠ABD=90°+45°=135°．

点评：本题主要考查了圆的有关知识，解题的关键是明确A、B、C、D四点共圆，且圆的直径是BC．