Question

如图，两个同心圆的圆心为O，正六边形ABCDEF的顶点在大圆上，六条边分别与小圆相切，大圆的半径OA、OB分别与小圆相交于点G、H，正六边形的边长为2a．
（1）求

AB

与

GH

的弧长之差；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）利用正六边形的特殊性可得出BO=2a，再利用等边三角形的性质求出NO的长，进而得出答案；
（2）利用阴影部分的面积为：S_扇形OAB-S_△AOB，进而得出答案．

解答：解：（1）过点O作ON⊥AB于点N，
∵正六边形的边长为2a，
∴BN=AN=a，
由题意可得：∠AOB=60°，BO=2a，则∠BON=30°，
故NO=BO•cos30°=

3

a，

AB

=

60π×2a

180

=

2πa

3

，

GH

=

60×π× 3 a

180

=

3 πa

3

，
故

AB

与

GH

的弧长之差为：

2πa

3

-

3 πa

3

=

(2- 3 )πa

3

；

（2）∵S_△AOB=

1

2

×NO×AB=

3

a²，
S_扇形OAB=

60π×(2a)2

360

=

2πa2

3

∴阴影部分的面积为：S_扇形OAB-S_△AOB=

2πa2

3

-

3

a²．

点评：此题主要考查了正多边形和圆，根据题意得出BO、NO的长是解题关键．