【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点F,过点C作CE∥AB,与过点A的切线相交于点E,连接AD.
(1)求证:AD=AE;
(2)若AB=6,AC=4,求AE的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)利用平行线的性质,圆的性质和等腰三角形的性质,证明△AEC和△ADC全等即可证明AD=AE,
(2)设AE=AD=x,CE=CD=y,利用勾股定理列出关于x和y的等式,即可求出AE的长.
(1)证明:∵AE与⊙O相切,AB是⊙O的直径,
∴∠BAE=90°,∠ADB=90°,
∵CE∥AB,
∴∠E=90°,
∴∠E=∠ADB,
∵在△ABC中,AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAC+∠EAC=90°,∠ACE+∠EAC=90°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠BCA=∠ACE,
又∵AC=AC,
∴△ADC≌△AEC(AAS),
∴AD=AE;
(2)解:设AE=AD=x,CE=CD=y,
则BD=(6﹣y),
∵△AEC和△ADB为直角三角形,
∴AE2+CE2=AC2,AD2+BD2=AB2,
AB=6,AC=4,AE=AD=x,CE=CD=y,BD=(6﹣y)代入,
解得:x=,y=,
即AE的长为.
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【题目】某民营企业准备用14000元从外地购进A、B两种商品共600件,其中A种商品的成本价为20元,B种商品的成本价为30元.
(1)该民营企业从外地购得A、B两种商品各多少件?
(2)该民营企业计划租用甲、乙两种货车共6辆,一次性将A、B两种商品运往某城市,已知每辆甲种货车最多可装A种商品110件和B种商品20件;每辆乙种货车最多可装A种商品30件和B种商品90件,问安排甲、乙两种货车有几种方案?请你设计出具体的方案.
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【题目】如图,DF∥AC,E点为DF上的点,B为AC上的点,∠1=∠2.求证:∠C=∠D.请你根据条件进行推理,得出结论,并在括号内注明原因.
证明:∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠3,∠2=∠4(_______),
∴∠3=∠4(等量代换),
∴_____∥_____(_______),
∴∠C=∠ABD(_______),
∵DF∥AC(已知)
∴∠D=∠ABD(_______),
∴∠C=∠D(_______).
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【题目】(复习旧知)
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3:而│4-1│=3;表示-3和2两点之间的距离是5:而│-3-2│=5;表示-4和-7两点之间的距离是3,而│-4-(-7)│=3.
一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m-n│.
(1)数轴上表示数-5的点与表示-2的点之间的距离为________;
(探索新知)
如图①,我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到:要找AB或DE的长度,显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长.
下面:以求DE为例来说明如何解决.
从坐标系中发现:D(-7,5),E(4,-3).所以DF=│5-(-3)│=8,EP=│4-(-7)│=11,所以由匀股定理可得:DE=.
(2)在图②中:设A(x1,y1),B(x2,y2),试用x1,y1,x2,y2表示:
AC=____________,BC=____________,AB=____________.
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”.
(学以致用)
请用此公式解决如下题目:
(3)已知:A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点,且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形.请求出C点的坐标.
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【题目】小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).
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【题目】(1)己知2a-1的平方根是土3,3a+b-1的平方根是土4,c是的整数部分,求a+2b+c的算术平方根.
(2)已知在△ABC中,AB=10,BC=21,AC=17,则△ABC面积是多少?
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【题目】菱形AOBC如图放置,A(3,4),先将菱形向左平移9个单位长度,再向下平移1个单位长度,然后沿轴翻折,最后绕坐标原点O旋转90°得到点C的对应点为点P,则点P的坐标为 ( )
A. (-3,-1) B. (3,1) C. (3,1)(-3,-1) D. (-3,1)(3,-1)
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【题目】如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
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