Question

【题目】小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一）猜测探究

在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．

（1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______，NB与MC的数量关系是_______；

（2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。

（二)拓展应用

如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旅转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．

Answer 1

【答案】（一）（1）∠NAB=∠MAC，BN=MC；（2）成立，理由见解析；（二）QB1的最小值为4-4

【解析】

（一）（1）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（2）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；

（二）如图3中，在A1 C1上截取A1N= A1 B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．理由全等三角形的性质证明B1Q=PN，推出当PN的值最小时，Q B1的值最小，求出HN的值即可解决问题．

解：（一）（1）结论：∠NAB=∠MAC，BN=MC．
理由：如图1中，

∵∠MAN=∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB=∠MAC，
∵AB=AC，AN=AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN=CM．
故答案为：∠NAB=∠MAC，BN=CM，

（2）（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，
∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，
即：∠MAC=∠NAB，
∵AB=AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC=NB；

（二）如图3中，在A1 C1上截取A1N= A1 B1，连接PN，作NH⊥B1 C1于H，作A1M⊥B1C1于M．

∵∠C1A B1=∠P A1Q，
∴∠Q A1 B1=∠P A1 N，
∵A1A= A1P，A1 B1=AN，
∴△Q A1 B1≌△P A1N（SAS），
∴B1Q=PN，
∴当PN的值最小时，Q B1的值最小，
在Rt△A1 B1M中，∵∠A1 B1M=60°，A1 B1=8，
∴A1M= A1 B1sin60°=4，
∵∠M A1 C1=∠B1 A1 C1-∠B1 A1M=75°-30°=45°，
∴A1 C1=4，
∴N C1= A1 C1- A1N=4-8，
在Rt△NH C1，∵∠C1=45°，
∴NH=4-4，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，
∴Q B1的最小值为4-4