Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点连接点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点交于点过点作交轴于点，交于点．

（1）求三点的坐标；

（2）试探究在点运动过程中，是否存在这样的点使得以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）m是点的横坐标，请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足条件的点坐标为和；（3）时，有最大值．

【解析】

（1）解方程得，计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标；

（2）利用勾股定理计算出，利用待定系数法可求得直线关系式为则可设为，，讨论：当时，；当时，有；当时，有然后分别解方程求出即可得到对应点P的坐标；

（3）过点作于点，由知是等腰直角三角形，可判断为等腰直角三角形，则再证明得到，所以，于是得到，设，，则利用得到，然后利用二次函数的性质解决问题即可．

解：当时，有

解得，

所以

当时，有

所以．

存在．

由（1）易知，，

直线关系式为

设为，，

则①当时，

有

解得(不合，舍去)，

此时点为

②当时，有

解得(不合，舍去)，

此时点为

③当时，有

解得(不合，舍去)，

综上所述，满足条件的点坐标为和．

过点作于点，如图，

则轴，

由知是等腰直角三角形，

，

为等腰直角三角形

，

又，

即

，

设，，

则

，

，

有最大值，

时，有最大值．