Question

已知关于x的方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0，若等腰三角形ABC的一边长a=4，另一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】先利用因式分解法求出两根，再根据a=4为底边，a=4为腰，分别确定b，c的值，进而求出三角形的周长即可．

【解答】解：x²﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，

整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]=0，

∴x₁=2，x₂=2k﹣1，

当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，

因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k﹣1，

解得k=1.5，

则三角形的三边长分别为：2，2，4，

∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；

当a=4为等腰△ABC的腰，

因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1=4，

则三角形三边长分别为：2，4，4，

此时三角形的周长为2+4+4=10．

∴△ABC的周长为10．

【点评】考查一元二次方程的应用；分类探讨a=4是等腰三角形的一边的情况是解决本题的难点．